Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt/Beweis

Beweis

Für eine invertierbare Matrix ${}M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem ${}Mx=c$, indem man ${}M^{-1}$ anwendet, d.h. es ist ${}x=M^{-1}c$. Unter Verwendung von Fakt bedeutet dies ${}x={\frac {1}{\det M}}(M^{\operatorname {adj} })c$. Für die ${}j$-te Komponente bedeutet dies

${}x_{j}={\frac {1}{\det M}}{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+j}(\det M_{kj})\cdot c_{k}\right)}\,.$

Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der ${}j$-ten Spalte.

Zur bewiesenen Aussage