Lineares Gleichungssystem/Einsetzungsverfahren/Bemerkung

Ein weiteres Verfahren, ein lineares Gleichungssystem zu lösen, ist das Einsetzungsverfahren. Dabei werden ebenfalls Variablen sukzessive eliminiert, allerdings in einer anderen Weise. Wenn man mit diesem Verfahren die Variable ${}x_{1}$ eliminieren möchte, so löst man eine Gleichung, sagen wir ${}G_{1}$, in der ${}x_{1}$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten vorkommt, nach ${}x_{1}$ auf, und erhält eine neue Gleichung der Form

$G_{1}':\,\,\,x_{1}=F_{1},$

wobei in ${}F_{1}$ die Variable ${}x_{1}$ nicht vorkommt. In allen weiteren Gleichungen ${}G_{2},\ldots ,G_{m}$ ersetzt man die Variable ${}x_{1}$ durch ${}F_{1}$ und erhält (nach Umformungen) ein Gleichungssystem ${}G_{2}',\ldots ,G_{m}'$ ohne die Variable ${}x_{1}$, das zusammen mit ${}G_{1}'$ äquivalent zum Ausgangssystem ist.