Lineares Gleichungssystem/Gausssches Eliminationsverfahren auf Lemma/Verfahren

Gegeben sei ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem ${}S$ über einem Körper ${}K$. Dann wendet man auf eine geeignete Variable ${}x$ Fakt an und erhält ein äquivalentes Gleichungssystem bestehend aus einer linearen Gleichung ${}G_{1}$, in der ${}x$ vorkommt, und einer Menge ${}R_{1}$ von Gleichungen, in denen ${}x$ nicht vorkommt. Das System ${}S_{1}=\{G_{1}\}\cup R_{1}$ ist äquivalent zu ${}S$. Man wendet nun dieses Verfahren auf ${}R_{1}$ an (falls ${}R_{1}$ zwei von null verschiedene Gleichungen besitzt) und eliminiert dort eine weitere Variable, etc. So erhält man nach und nach Gleichungssysteme ${}R_{i}$ mit immer weniger Variablen und der Eigenschaft, dass ${}S_{i}=\{G_{1},\ldots ,G_{i}\}\cup R_{i}$ äquivalent zu ${}S$ ist. Man ist fertig, wenn man nicht mehr eliminieren kann, und dies ist genau dann der Fall, wenn in ${}R_{i}$ nur noch eine von null verschiedene Gleichung steht.

Insgesamt erhält man so ein äquivalentes Gleichungssystem in „Stufenform“, das man einfach lösen kann.