Lineares Gleichungssystem/Homogen und inhomogen/Affiner Raum/1/Beispiel

Die homogene lineare Gleichung

${}7x-3y+4z=0\,$

hat den Lösungsraum

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}\rangle \,$

und die inhomogene lineare Gleichung

${}7x-3y+4z=2\,$

hat die Lösungsmenge

${}E={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+U={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Die affine Addition ist die Abbildung

$U\times E\longrightarrow E,\,(u,P)\longmapsto (u+P),$

die einem Paar bestehend aus einer Lösung der homogenen Gleichung und einer Lösung der inhomogenen Gleichung ihre Summe zuordnet, die eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Zu zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung ist die Differenz eine Lösung der homogenen Gleichung. Zu

${}u=-2{\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\-2\\9\end{pmatrix}}\in U\,$

ist beispielsweise

${}{\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-6\\-2\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\2\\{\frac {19}{2}}\end{pmatrix}}\,$

eine weitere Lösung aus ${}E$. Die beiden Lösungen ${}{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}$ aus ${}E$ werden durch den Verbindungsvektor

${}{\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}\,$

ineinander überführt.