Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum/Orthogonalraum/Beispiel

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

über einem Körper ${}K$ gegeben, wobei wir die ${}i$-te Gleichung als Kernbedingung für die Linearform

$L_{i}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j},$

auffassen. Es sei

${}F=\langle L_{1},\ldots ,L_{m}\rangle \,$

der von diesen Linearformen im Dualraum ${}{K^{n}}^{*}$ erzeugte Untervektorraum. Dann ist ${}F^{\perp }$ der Lösungsraum des Gleichungssystems.