Wir wollen das inhomogene lineare Gleichungssystem
-
über
(oder
)
lösen. Wir eliminieren zuerst
, indem wir die erste Zeile
beibehalten, die zweite Zeile
durch
und die dritte Zeile
durch
ersetzen. Das ergibt
-
Wir könnten jetzt aus der
(neuen)
dritten Zeile mit Hilfe der zweiten Zeile
eliminieren. Wegen der Brüche eliminieren wir aber lieber
(dies eliminiert gleichzeitig
).
Wir belassen also die erste und zweite Zeile und ersetzen die dritte Zeile
durch
. Dies ergibt, wobei wir das System in einer neuen Reihenfolge der Variablen
aufschreiben, das System
-
Wir können uns nun
beliebig
(oder „frei“)
vorgeben. Die dritte Zeile legt dann
eindeutig fest, es muss nämlich
-

gelten. In der zweiten Gleichung können wir wieder
beliebig vorgeben, was dann
eindeutig festlegt, nämlich

Die erste Zeile legt dann
fest, nämlich

Daher kann man die Gesamtlösungsmenge als
-
schreiben. Eine besonders einfache Lösung ergibt sich, wenn man die freien Variablen
und
gleich
setzt. Dies führt auf die spezielle Lösung
-

In der allgemeinen Lösung kann man
und
als Koeffizienten rausziehen und dann die Lösungsmenge auch als
-
schreiben. Dabei ist
-
eine Beschreibung der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems.