Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Lösungsraum/Affine Basis/1/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}$

gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind

${\begin{pmatrix}4\\7\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\\2\end{pmatrix}}$

Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems ${}1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}4\\7\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\7\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\3\\{\frac {11}{3}}\end{pmatrix}}$

eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.

Zur gelösten Aufgabe