Logarithmus

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  • Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens
  • Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation
  • Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition
Denn es gilt
 
 
 
Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Division
 
 
 
Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Subtraktion
 
 
 

Schreibweise

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Man schreibt für den Logarithmus von   zur Basis  

 

und sagt:   ist der Logarithmus von   zur Basis  .   heißt Numerus oder veraltet auch Logarithmand.[1] Das Ergebnis   des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis   potenzieren muss, um den Numerus   zu erhalten.[2] Passend zu   ist also  .

Rechenregeln

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Produkte

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Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel

 

zur Verfügung;

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Quotienten

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Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall

 

angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers   minus den Logarithmus des Nenners  .

Insbesondere ergibt sich daraus (da  ):

 

Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das Kehrwertgesetz:

 

Summen und Differenzen (selten genutzt)

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Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie   hergeleitet werden, indem   ausgeklammert wird:

 

Damit ergibt sich die „Regel“

 

Potenzen

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Für Potenzen mit reellem Exponent   gilt die Regel

 

Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.

Auch daraus lässt sich für  

 

ermitteln.

Der Logarithmus eines Stammbruchs   ist der negative Logarithmus des Nenners  .

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten.

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel

 

Aufgaben

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  1. Berechne  
  2. Berechne  
  3. Berechne  

Basisumrechnung

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Um Logarithmen zur Basis   mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis   zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang

 

denn mit   gelten die Umformungen

 

Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet:

  oder  
Beispiel
 
für beliebige positive Zahlen   ist  

Aufgaben

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  1. Berechne  
  2. Berechne  
  3. Berechne  
  4. Berechne  

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion

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Der Logarithmus bzw. die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion  , mit der Basis   (  und  ).

Exponentialfunktion
 
 
Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.
Logarithmusfunktion
 
 
Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4

Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen

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Neben der allgemeinen Schreibweise

 
 

gibt es noch weitere spezielle Bezeichnungen, je nach benutzter Basis  .

Basis  

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 ,   ist die Abkürzung für   und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus).

Basis  

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 , :  steht hier für die Eulersche Zahl und entspricht in etwa  
 ,   ist die Abkürzung für   und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus).

Basis  

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 ,   ist die Abkürzung für   (Dekadischer Logarithmus). Auf dem Taschenrechner wird   oft fälschlicherweise als   bezeichnet.

Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon

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Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an.

Quadratfunktion

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Wir definieren die quadratische Funktion   Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich   und Wertebereich   von  . Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion   eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert   bzw.   annehmen können. In die Funktion   dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also  . Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt  ). Der Wertebereich ist also  .

Mathematische Notation der Quadrat-Funktion
 
 

Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall  , gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier:  ).

Wurzelfunktion

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Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: : . Ebenso ist der Wertebereich definiert.

Mathematische Notation der Wurzel-Funktion
 
 

Was passiert beim Umkehren

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Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen   und  . Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion  . Die Definition von   ist:

 
 

Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle   aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder   herauskommt.

Beispiel

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Sei  .

 
 

Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion

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Exponentialfunktion

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In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis  , hier benannt als  , können alle rellen Zahlen eingesetzt werden ( ). Alle Funktionswerte von   sind größer als  , der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer   ( ). In anderen Worten   kann zwischen   und   liegen, also  . Die Funktionswerte sind größer  , also  .

 
  mit (  und  )

Logarithmusfunktion

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Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis  , hier als   bezeichnet, hat den Definitionsbereich   und den Wertebereich  .

 
  mit (  und  )

Was passiert beim Umkehren

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Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis  ) nacheinander ausführen. Wir führen zuest   aus und dann  , bennenen wir dies als   dann gilt:

 
 

Beispiel

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Sei die Basis  .

 
  (  steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für  )
 

Sei  .

 
 

Aufgaben

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  1. In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen  , die in die Funktion   mit   eingesetzt werden dürfen.
  2. In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von  .
  3. Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion   mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf.   soll die Funktion sein bei der zuerst   und dann   ausgeführt wird.
  4. Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von   und   verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92

Literatur

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  1. Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.
  2. Lothar Kusch: Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie. W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S. 162 f.