Logarithmus
Logarithmus
Bearbeiten- Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens
- Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation
- Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition
- Denn es gilt
- Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Division
- Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Subtraktion
Schreibweise
BearbeitenMan schreibt für den Logarithmus von zur Basis
und sagt: „ ist der Logarithmus von zur Basis “. heißt Numerus oder veraltet auch Logarithmand.[1] Das Ergebnis des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis potenzieren muss, um den Numerus zu erhalten.[2] Passend zu ist also .
Rechenregeln
BearbeitenProdukte
BearbeitenFür das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel
zur Verfügung;
Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.
Quotienten
BearbeitenDie Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall
angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers minus den Logarithmus des Nenners .
Insbesondere ergibt sich daraus (da ):
Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das Kehrwertgesetz:
Summen und Differenzen (selten genutzt)
BearbeitenAus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie hergeleitet werden, indem ausgeklammert wird:
Damit ergibt sich die „Regel“
Potenzen
BearbeitenFür Potenzen mit reellem Exponent gilt die Regel
Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.
Auch daraus lässt sich für
ermitteln.
Der Logarithmus eines Stammbruchs ist der negative Logarithmus des Nenners .
Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten.
Wurzeln
BearbeitenDa Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel
Aufgaben
Bearbeiten- Berechne
- Berechne
- Berechne
Basisumrechnung
BearbeitenUm Logarithmen zur Basis mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang
denn mit gelten die Umformungen
Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.
Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet:
- oder
- Beispiel
- für beliebige positive Zahlen ist
Aufgaben
Bearbeiten- Berechne
- Berechne
- Berechne
- Berechne
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion
BearbeitenDer Logarithmus bzw. die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion , mit der Basis ( und ).
- Exponentialfunktion
- Logarithmusfunktion
Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen
BearbeitenNeben der allgemeinen Schreibweise
gibt es noch weitere spezielle Bezeichnungen, je nach benutzter Basis .
Basis
Bearbeiten- , ist die Abkürzung für und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus).
Basis
Bearbeiten- , : steht hier für die Eulersche Zahl und entspricht in etwa
- , ist die Abkürzung für und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus).
Basis
Bearbeiten- , ist die Abkürzung für (Dekadischer Logarithmus). Auf dem Taschenrechner wird oft fälschlicherweise als bezeichnet.
Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon
BearbeitenWas bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an.
Quadratfunktion
BearbeitenWir definieren die quadratische Funktion Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich und Wertebereich von . Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert bzw. annehmen können. In die Funktion dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also . Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt ). Der Wertebereich ist also .
- Mathematische Notation der Quadrat-Funktion
Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall , gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: ).
Wurzelfunktion
BearbeitenWir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: : . Ebenso ist der Wertebereich definiert.
- Mathematische Notation der Wurzel-Funktion
Was passiert beim Umkehren
BearbeitenUnter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen und . Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion . Die Definition von ist:
Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder herauskommt.
Beispiel
BearbeitenSei .
Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion
BearbeitenExponentialfunktion
BearbeitenIn die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis , hier benannt als , können alle rellen Zahlen eingesetzt werden ( ). Alle Funktionswerte von sind größer als , der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer ( ). In anderen Worten kann zwischen und liegen, also . Die Funktionswerte sind größer , also .
- mit ( und )
Logarithmusfunktion
BearbeitenDie allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis , hier als bezeichnet, hat den Definitionsbereich und den Wertebereich .
- mit ( und )
Was passiert beim Umkehren
BearbeitenWir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis ) nacheinander ausführen. Wir führen zuest aus und dann , bennenen wir dies als dann gilt:
Beispiel
BearbeitenSei die Basis .
- ( steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für )
Sei .
Aufgaben
Bearbeiten- In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen , die in die Funktion mit eingesetzt werden dürfen.
- In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von .
- Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. soll die Funktion sein bei der zuerst und dann ausgeführt wird.
- Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von und verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92
Literatur
Bearbeiten- ↑ Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.
- ↑ Lothar Kusch: Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie. W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S. 162 f.