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Logistische Differentialgleichung/y' ist y mal (5-3y)/Probe/Aufgabe/Lösung
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Logistische Differentialgleichung/y' ist y mal (5-3y)/Probe/Aufgabe
Es ist einerseits
y
′
(
t
)
=
−
5
⋅
2
⋅
(
−
5
)
⋅
e
−
5
t
(
2
e
−
5
t
+
3
)
2
=
50
e
−
5
t
(
2
e
−
5
t
+
3
)
2
{\displaystyle {}y'(t)={\frac {-5\cdot 2\cdot (-5)\cdot e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}={\frac {50e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\,}
und andererseits ebenso
y
(
t
)
(
5
−
3
y
(
t
)
)
=
5
2
e
−
5
t
+
3
(
5
−
3
5
2
e
−
5
t
+
3
)
=
25
2
e
−
5
t
+
3
−
75
(
2
e
−
5
t
+
3
)
2
=
25
(
2
e
−
5
t
+
3
)
−
75
(
2
e
−
5
t
+
3
)
2
=
50
e
−
5
t
(
2
e
−
5
t
+
3
)
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}y(t)(5-3y(t))&={\frac {5}{2e^{-5t}+3}}{\left(5-3{\frac {5}{2e^{-5t}+3}}\right)}\\&={\frac {25}{2e^{-5t}+3}}-{\frac {75}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\\&={\frac {25(2e^{-5t}+3)-75}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\\&={\frac {50e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}.\end{aligned}}}
Ferner ist
y
(
0
)
=
5
2
e
0
+
3
=
5
2
+
3
=
1
.
{\displaystyle {}y(0)={\frac {5}{2e^{0}+3}}={\frac {5}{2+3}}=1\,.}
Zur gelösten Aufgabe
