Lokal beringte Räume/Morphismus/Invertierbarkeitsort/Fakt/Beweis

Beweis

Das Element ${}f$ ist in ${}\Gamma (Y_{f},{\mathcal {O}}_{Y})$ eine Einheit und der Ringhomomorphismus

$\Gamma (Y_{f},{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)},{\mathcal {O}}_{X})$

zeigt, dass ${}\varphi ^{*}f$ in ${}\Gamma (\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)},{\mathcal {O}}_{X})$ eine Einheit ist, was ${}\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)}\subseteq X_{\varphi ^{*}f}$ bedeutet. Für einen Punkt

${}P\in X_{\varphi ^{*}f}\,$

ist ${}{\varphi ^{*}f}$ eine Einheit im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$. Wegen der Lokalität des Ringhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P}$

muss auch ${}f\in {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}$ eine Einheit sein, was ${}\varphi (P)\in Y_{f}$ und damit

${}P\in \varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)}\,$

bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage