Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeitsort/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ ist

${}X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$

offen.

Beweis

Zunächst ist ${}f(P)=0$ im Restekörper genau dann, wenn ${}f\in {\mathfrak {m}}_{P}$ im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ nicht invertierbar ist. Sei ${}P\in X_{f}$. Dann ist ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ invertierbar und es gibt ${}g\in {\mathcal {O}}_{P}$ mit ${}gf=1$. Es gibt eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ mit (einem Repräsentanten)

${}g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$

und eine eventuell kleinere offene Umgebung ${}U'$ mit ${}fg=1$. Auf dieser offenen Umgebung ist somit ${}f$ invertierbar und es gilt ${}P\in U'\subseteq X_{f}$. Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass ${}X_{f}$ offen ist.

$\Box$

Die Menge der Punkte, für die ${}f$ als Element im Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ nicht ${}0$ ist, muss hingegen nicht offen sein, siehe Beispiel.

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man

${}X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$

den Invertierbarkeitsort von ${}f$.

Nach Aufgabe ist ${}f$ in ${}\Gamma (X_{f},{\mathcal {O}}_{X})$ eine Einheit.