Lokal beringter Raum/Globale Funktion/Affine Gerade/Morphismus/Fakt

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.

Dann definiert jede globale Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{1}$, wobei die Variable (der affinen Geraden) auf ${}f$ abgebildet wird.

Wenn ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine ${}K$-Algebra über einem Körper ${}K$ ist, so definiert ${}f$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Dabei wird ein Punkt ${}x\in X$ auf den Kern des Ringhomomorphismus

$K[T]\longrightarrow \kappa (x),\,T\longmapsto f(x),$

abgebildet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen