Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Ränge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler noetherscher Ring, ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul und

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eine minimale freie Auflösung von ${}M$. Zeige, dass der Rang von ${}F_{i}$ gleich der ${}R/{\mathfrak {m}}$-Dimension von ${}M_{i}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ mit ${}M_{i}=\operatorname {kern} \left(\theta _{i-1}\right)$ ist.

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