Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition

Projektive Dimension

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Man sagt, dass ${}M$ eine endliche projektive Dimension besitzt, wenn es eine freie Auflösung

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

mit ${}F_{n}=0$ für ${}n\geq n_{0}$ gibt. In diesem Fall nennt man das Minimum der ${}n$ mit ${}F_{n+1}=0$ für alle freie Auflösungen die projektive Dimension von ${}M$.