Wir führen Induktion über die Dimension von . Bei
ist
und es liegt ein Körper vor. Es sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien die
minimalen Primideale
von . Es ist
und
zu zeigen. Wir wenden
Fakt
auf diese Primideale und auf
und
an. Es ist
,
da die Dimension zumindest ist, und es ist
,
denn sonst wäre
.
Somit ist
,
d.h. es gibt ein , das in keinem minimalen Primideal und nicht in enthalten ist. Nach
Fakt
ist ein regulärer Ring der Dimension , es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal ein
Primideal
in . Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt
-
für ein , und die Inklusion muss nach der Wahl von echt sein. Somit muss
-
mit einem Ideal sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit folgt
-
und somit
-
Die Gleichheit
-
erzwingt aber
nach dem Lemma von Nakayama
.