Lotto/Zwei Zahlen/Unabhängigkeit/Beispiel

Wir betrachten die Ziehung der Lottozahlen. Sind die Ereignisse, dass zwei bestimmte Zahlen gezogen werden, unabhängig voneinander? Dazu müssen wir die relevanten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl, sagen wir die ${}17$ gezogen wird, ist ${}{\frac {6}{49}}$. Dies ergibt sich beispielsweise aus

${}{\frac {\binom {48}{5}}{\binom {49}{6}}}={\frac {\frac {48\cdot 47\cdots 44}{5\cdot 4\cdots 1}}{\frac {49\cdot 48\cdots 44}{6\cdot 5\cdots 1}}}={\frac {6}{49}}\,.$

Diese Wahrscheinlichkeit ist für jede Zahl gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen gezogen werden, sagen wir die ${}17$ und die ${}31$, ist

${}{\frac {\binom {47}{4}}{\binom {49}{6}}}={\frac {\,\,{\frac {47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{\frac {49\cdot 48\cdots 44}{6\cdot 5\cdots 1}}}={\frac {6\cdot 5}{49\cdot 48}}={\frac {5}{49\cdot 8}}={\frac {5}{392}}=0,012755102\,.$

Die Produktwahrscheinlichkeit der beiden einzelnen Ereignisse ist hingegen

${}{\frac {6}{49}}\cdot {\frac {6}{49}}={\frac {36}{2401}}=0,014993753...\,.$

Die Ereignisse sind also nicht unabhängig.