Lucy Sonnenschein/Sprünge in vier Richtungen/Abstand/Aufgabe/Lösung

Die möglichen Sprünge sind

$(1,0),\,(-1,0),\,(0,1),\,(0,-1).$

Diese werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{4}}$ durchgeführt. Insgesamt gibt es ${}4^{4}=256$ Sprungmöglichkeiten, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{256}}$ besitzen.

Nach den vier Sprüngen befindet Lucy sich in einem Punkt der Form ${}(a,b)$, wobei

${}\vert {a}\vert +\vert {b}\vert \leq 4\,.$

Dabei sind ${}a,b$ ganzzahlig und ${}a+b$ ist ein Vielfaches von ${}2$. Mögliche Ergebnisse mit Betragssumme ${}4$ sind also bis auf Vorzeichen und Permutation

$(4,0),\,(3,1),\,(2,2)$

Wegen

${}3^{2}+1^{2}>3^{2}\,$

und

${}2^{2}+2^{2}=8<9\,$

haben die beiden ersten einen Abstand vom Nullpunkt größer als ${}>3$. Wenn die Betragssumme ${}0$ oder ${}2$ ist, so befindet sie sich innerhalb des Kreises mit Radius ${}3$. Wir müssen also die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, dass sie sich zum Schluss in einer Position der Form ${}(3,1)$ oder der Form ${}(4,0)$ befindet. Für den zweiten Fall gibt es nur die vier Möglichkeiten ${}(4,0),(-4,0),(0,4),(0,-4)$, die nur erreicht werden, wenn genau viermal nur einer der Sprünge gemacht wird. Es gibt also dafür vier Möglichkeiten, und dies tritt mit Wahrscheinlichkeit

${}{\frac {4}{256}}={\frac {1}{64}}\,$

ein. Betrachten wir den ersten Fall. Zunächst gibt es acht mögliche Endpositionen, die zu diesem Fall gehören (nämlich $(\pm 3,\pm 1$ und $(\pm 1,\pm 3$). Damit Lucy auf ${}(3,1)$ kommt, muss sie dreimal den ${}(1,0)$-Sprung und einmal den ${}(0,1)$-Sprung machen. Dafür gibt es vier Möglichkeiten. Somit gibt es insgesamt

${}8\cdot 4=32\,$

Möglichkeiten für den ersten Fall, was die Wahrscheinlichkeit

${}{\frac {32}{256}}={\frac {1}{8}}\,$

bedeutet. Die Wahrscheinlichkeit, auf einer Position mit Abstand ${}>3$ zu landen, ist somit

${}{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{64}}={\frac {9}{64}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe