Münzwurf/10/Mindestens 5/Einzelwurf/Beispiel

Es wurde zehnmal eine faire Münze geworfen und es sei bekannt, dass mindestens fünfmal dabei Kopf fiel. Wie hoch ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf Kopf war? Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse ${}B$ (mindestens fünfmal Kopf) und ${}E$ (der erste Wurf ist Kopf) berechnen. Unter den ${}2^{10}$ möglichen Wurfkombinationen gibt es

${\binom {10}{5}}+{\binom {10}{6}}+{\binom {10}{7}}+{\binom {10}{8}}+{\binom {10}{9}}+{\binom {10}{10}}=252+210+120+45+10+1=638\,$

Kombinationen, in denen zumindest fünf Kopfwürfe auftreten. Unter diesen müssen wir die Anzahl der Kombinationen zählen, in denen der erste Wurf Kopf ist. Es geht also um die Anzahl von ${}B\cap E$. Diese Menge kann man so charakterisieren, dass der erste Wurf Kopf ist und dass es unter den neun weiteren Würfen zumindest vier Kopfwürfe gibt. Die Anzahl dieser Menge ist somit

${\binom {9}{4}}+{\binom {9}{5}}+{\binom {9}{6}}+{\binom {9}{7}}+{\binom {9}{8}}+{\binom {9}{9}}=126+126+84+36+9+1=382\,.$

Somit ist

${}P(E{|}B)={\frac {P(E\cap B)}{P(B)}}={\frac {\,\,{\frac {382}{2^{10}}}\,\,}{\frac {638}{2^{10}}}}={\frac {382}{638}}={\frac {191}{319}}\,.$