Münzwurf/10/Wahrscheinlichkeit für zentralen Bereich/Aufgabe/Lösung

1. Es gibt insgesamt ${}2^{10}=1024$ mögliche Wurffolgen, jede besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ${}i$-mal Kopf geworfen wird, ist

   ${\frac {\binom {10}{i}}{1024}}.$

   Da die Bedingung spiegelsymmetrisch zur Mitte ${}5$ ist, geht es um das minimale ${}k$ mit

   ${}\sum _{i=0}^{5-k-1}{\frac {\binom {10}{i}}{1024}}<0{,}05\,.$

   Es ist

   ${}{\frac {1}{1024}}+{\frac {10}{1024}}<0{,}05\,$

   und

   ${}{\frac {1}{1024}}+{\frac {10}{1024}}+{\frac {45}{1024}}={\frac {56}{1024}}={\frac {7}{128}}\geq 0{,}05\,.$

   Somit ist ${}k=3$, der Bereich ist also ${}\{2,3,\ldots ,8\}$.

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {\binom {10}{5}}{1024}}&={\frac {\,\,{\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{1024}}\\&={\frac {9\cdot 4\cdot 7}{1024}}\\&={\frac {252}{1024}}\\&<0{,}6.\end{aligned}}$

   Wegen

   ${}{\begin{aligned}{\frac {\binom {10}{4}}{1024}}&={\frac {\,\,{\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{1024}}\\&={\frac {10\cdot 3\cdot 7}{1024}}\\&={\frac {210}{1024}}\end{aligned}}$

   und wegen

   ${}{\frac {210}{1024}}+{\frac {252}{1024}}+{\frac {210}{1024}}={\frac {672}{1024}}>0{,}6\,$

   ist ${}\{4,5,6\}$ der gesuchte Bereich.

3. Es ist

   ${}25\,\%=0{,}25\,.$

   Wegen

   ${}{\frac {\binom {10}{5}}{1024}}={\frac {252}{1024}}={\frac {63}{256}}<{\frac {64}{256}}=0{,}25\,$

   ist auch hier ${}\{4,5,6\}$ der gesuchte Bereich.

Zur gelösten Aufgabe