Maß/Alternierende Formel/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}n$. Für ${}n=1$ ist die Aussage klar. Der Fall ${}n=2$, der im Induktionsschritt verwendet wird, bedeutet

${}\mu (T_{1}\cup T_{2})=\mu (T_{1})+\mu (T_{2})-\mu (T_{1}\cap T_{2})\,$

und folgt aus der disjunkten Zerlegung

${}T_{1}\cup T_{2}=(T_{1}\setminus T_{2})\cup (T_{2}\setminus T_{1})\cup (T_{1}\cap T_{2})\,$

mittels

${}{\begin{aligned}\mu (T_{1}\cup T_{2})&=\mu (T_{1}\setminus T_{2})+\mu (T_{2}\setminus T_{1})+\mu (T_{1}\cap T_{2})\\&=\mu (T_{1}\setminus T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{2}\setminus T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{1}\cap T_{2})\\&=\mu (T_{1})-\mu (T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{2})-\mu (T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{1}\cap T_{2})\\&=\mu (T_{1})+\mu (T_{2})-\mu (T_{1}\cap T_{2}).\end{aligned}}$

Zum Induktionsschritt sei die Aussage für ein bestimmtes ${}n\geq 2$ bewiesen, und wir zeigen sie für ${}n+1$. Unter Verwendung des Falles mit zwei Mengen und der Induktionsvoraussetzung (für $T_{1},\ldots ,T_{n}$ und $T_{1}\cap T_{n+1},\ldots ,T_{n}\cap T_{n+1}$) ist

${}{\begin{aligned}\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}T_{i}\right)}&=\mu {\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}\cup T_{n+1}\right)}\\&=\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}+\mu (T_{n+1})-\mu {\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}\cap T_{n+1}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\mu {\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}\cap T_{n+1}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}{\left(T_{i}\cap T_{n+1}\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J}\cap T_{n+1})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n+1\},\,n+1\not \in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\in J,\,{\#\left(J\right)}=k+1}\mu (T_{J})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n+1\},\,n+1\not \in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})+\sum _{\ell =2}^{n+1}(-1)(-1)^{\ell }{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\in J,\,{\#\left(J\right)}=\ell }\mu (T_{J})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n+1\},\,n+1\not \in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe