Maßraum/L^2-Raum/Auswertung auf Teilraum/Integraldarstellung/Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei ${}L^{2}(X)$ der zugehörige Vektorraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}T\subseteq X$ eine messbare Teilmenge mit ${}\mu (T)<\infty$.

1. Zeige, dass

   $\varphi _{T}\colon L^{2}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto \int _{T}fd\mu ,$

   eine stetige Linearform ist.

2. Man gebe explizit ein ${}g\in L^{2}(X)$ an, dass ${}\varphi _{T}$ im Sinne von Fakt beschreibt.

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