Maßraum/L^2-Raum/Disjunkte Teilmengen/Orthogonalität/Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei ${}L^{2}(X)$ der zugehörige Vektorraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf ${}X$. Es seien ${}T_{1},T_{2}\subseteq X$ messbare Teilmengen mit ${}\mu (T_{1}),\mu (T_{2})<\infty$ mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{T_{1}}$ bzw. ${}e_{T_{2}}$. Zeige, dass diese Funktionen genau dann orthogonal zueinander sind, wenn ${}\mu (T_{1}\cap T_{2})=0$

ist.

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