Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\vert {f+g}\vert ^{p}&\leq {\left(\vert {f}\vert +\vert {g}\vert \right)}^{p}\\&\leq {\left(2\cdot \operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\right)}^{p}\\&=2^{p}{\left(\operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\right)}^{p}\\&\leq 2^{p}\operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ^{p},\,\vert {g}\vert ^{p}\right)\\&\leq 2^{p}{\left(\vert {f}\vert ^{p}+\vert {g}\vert ^{p}\right)}.\end{aligned}}$

Daher ist

${}\int _{X}\vert {f+g}\vert ^{p}d\mu \leq \int _{X}2^{p}{\left(\vert {f}\vert ^{p}+\vert {g}\vert ^{p}\right)}d\mu =2^{p}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +2^{p}\int _{X}\vert {g}\vert ^{p}d\mu \,.$

Wenn also ${}f$ und ${}g$ beide ${}p$-integrierbar

sind, so ist auch ihre Summe ${}p$-integrierbar. Die skalare Verträglichkeit ist trivial.

Zur gelösten Aufgabe