Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Dann sind für eine messbare Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}f=0$ fast überall.
2. Es gibt ein ${}p\geq 1$ mit

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

3. Für alle ${}p\geq 1$ ist

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

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