Maßtheorie/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Zusammenstellung/Textabschnitt

Nicht jeder Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ kann man sinnvollerweise ein Maß zuordnen. In der Maßtheorie werden die sogenannten Borelmengen eingeführt, und diesen Borelmengen kann ein Maß, das sogenannte Borel-Lebesgue Maß ${}\lambda$ zugeordnet werden. Die Borelmengen umfassen unter anderem alle offenen Mengen, alle abgeschlossenen Mengen (insbesondere alle kompakten Mengen). Borelmengen sind unter abzählbarer Vereinigung und abzählbaren Durchschnitten abgeschlossen, und mit einer Borelmenge ist auch deren Komplement eine Borelmenge.

Das Borel-Lebesgue Maß ${}\lambda$ hat seine Werte in ${}{\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$ und ist durch folgende Eigenschaften charakterisiert (der Nachweis der Existenz erfordert einigen Aufwand):

1. Für einen Quader ${}Q$ mit den Seitenlängen ${}s_{1},\ldots ,s_{n}$ ist ${}\lambda (Q)=s_{1}\cdot s_{2}\cdots s_{n}$.
2. Für eine abzählbare Familie von disjunkten Borelmengen ${}T_{i}$, ${}i\in I$, ist ${}\lambda {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\lambda {\left(T_{i}\right)}$.
3. Das Borel-Lebesgue Maß ${}\lambda$ ist translationsinvariant, d.h. für eine Borelmenge ${}T$ und einen Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ ist auch die um ${}v$ verschobene Menge ${}v+T$ eine Borelmenge mit ${}\lambda (v+T)=\lambda (T)$.

Weitere wichtige Eigenschaften sind:

• Für ${}U\subseteq T$ ist ${}\lambda (U)\leq \lambda (T)$.

• Teilmengen, die in einem echten linearen Unterraum des ${}\mathbb {R} ^{n}$ liegen, haben das Maß ${}0$, siehe Fakt.

• Ein einzelner Punkt und damit auch jede abzählbare Ansammlung von Punkten hat das Maß ${}0$.

• Unter einer linearen Abbildung ${}L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ verhält sich das Borel-Lebesgue Maß so: Zu einer Borelmenge ${}T$ ist auch das Bild ${}L(T)$ eine Borelmenge mit ${}\lambda (L(T))=\vert {\det(L)}\vert \cdot \lambda (T)$, siehe Fakt.