Maßtheorie/R/Numerischer Abschluss/Einführung/Textabschnitt

In der Praxis gibt man einen Flächeninhalt in Quadratmeter ${}m^{2}$ und ein Volumen in Kubikmeter ${}m^{3}$ an. Diese Einheiten legen die Skala fest, auf der dann mit nichtnegativen reellen Zahlen gemessen wird. Als Wertemenge für ein Maß bieten sich demnach die nichtnegativen reellen Zahlen an. Besitzt der Gesamtraum ${}\mathbb {R} ^{3}$ ein Volumen? Sicherlich keines, das durch eine reelle Zahl ausgedrückt werden könnte. Daher erlaubt man bei einem Maß auch den Wert ${}\infty$, und setzt

${\overline {\mathbb {R} }}_{\geq }=\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}\,\,{\text{ und }}\,\,{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}\cup \{-\infty \}.$

Das bedeutet nicht, dass wir die reellen Zahlen ändern, sondern dass wir im maßtheoretischen Kontext mit einer bestimmten Mengenerweiterung der reellen Zahlen arbeiten. Einen Teil der Rechenoperationen dehnen wir auf die zusätzlichen Symbole aus, aber nicht alles, wobei man sich von der maßtheoretischen Zweckmäßigkeit leiten lässt. Die Ordnungsrelation wird durch

${}-\infty <r<\infty \,$

für jede reelle Zahl ${}r$ ausgedehnt. Wir setzen

$r+\infty =\infty {\text{ und }}r-\infty =-\infty$

für ${}r\in \mathbb {R}$. Der Ausdruck ${}\infty +(-\infty )$ ist nicht definiert. Für positive reelle Zahlen ${}r$ ist ${}r\cdot \infty =\infty$, und wir setzen ${}0\cdot \infty =0$.