Mannigfaltigkeit/Punkt ersetzen/Rand/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P\in U\subseteq M$ ein offenes Kartengebiet mit der Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

Wir können davon ausgehen, dass ${}\alpha (P)$ der Nullpunkt ist und das ${}V$ der offene Ball mit Radius ${}3$ ist. Es sei

$\varphi \colon U{\left(0,3\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)$

ein Diffemorphismus, der auf ${}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}$ die Identität ist und der ${}U{\left(0,2\right)}\setminus \{0\}$ auf ${}U{\left(0,2\right)}\setminus B\left(0,1\right)$ abbildet. Eine solche Abbildung erhält man, wenn man mit der Funktion

$h\colon [0,3]\longrightarrow [0,3]$

mit

${}h(r)={\begin{cases}1+{\frac {1}{4}}r^{2}{\text{ für }}0\leq r\leq 2\,,\\r{\text{ für }}r>2\,,\end{cases}}\,$

die Punkte streckt. Dabei kann man das Bild des Diffeomorphismus ${}\varphi$, also ${}U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)$, als

${}U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)\subset U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}\,$

auffassen, wobei die größere Menge eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand ${}S{\left(0,1\right)}$ ist. Es sei ${}N$ die Mannigfaltigkeit, die entsteht, wenn man ${}U$ durch ${}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}$ ersetzt. Die Sphäre wird dabei zum Rand von ${}N$. Den Diffeomorphismus ${}\varphi$ man man zu einem Diffeomorphismus

$M\setminus \{P\}\longrightarrow N\setminus \partial N$

fortsetzen, da auf dem offenen Übergang ${}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}$ die Identität vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe