Mathematik/Prinzipien/Beweis durch Fallunterscheidung/Bemerkung

Bei einem Beweis durch Fallunterscheidung geht man folgendermaßen vor: Man möchte eine Aussage ${}P$ beweisen. Man verwendet nun eine zusätzliche Eigenschaft ${}E$, die nicht zu den Voraussetzungen gehört, bei den gegebenen Voraussetzungen gibt es Situationen, wo diese Eigenschaft gilt, und Situationen, wo diese Eigenschaft nicht gilt. Nun beweist man einerseits (Fall 1) die Aussage ${}P$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Eigenschaft ${}E$ gilt, und sodann beweist man in einer davon unabhängigen Überlegung (Fall 2) die Aussage ${}P$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Eigenschaft ${}E$ nicht gilt. Da ${}E$ gilt oder nicht gilt, hat man alle Möglichkeiten erfasst und generell ${}P$ bewiesen. Der Vorteil ist, dass man jeweils mit stärkeren Voraussetzungen arbeiten kann.

Dabei können beide Fälle gleich schwer sein, es kann auch ein Fall deutlich einfacher als der andere Fall sein, oder ein Fall kann aus einem zuvor bewiesenen Satz folgen, im andern Fall muss man sich was neues einfallen lassen. In einem Beweis durch Fallunterscheidung kann man die beiden Fälle mit der bestimmenden Eigenschaft explizit auflisten, oder aber durch Formulierungen wie „zunächst betrachten wir die Situation, dass ...“, „wenn ...“ bzw. „... sei also nun ... “, „ist hingegen ... “ andeuten. Es gibt auch Fallunterscheidungen, wo die Situation in mehr als zwei Fälle aufgespaltet wird.

Dieses Argumentationsmuster kann mit anderen Beweisschemata beliebig kombiniert werden.