Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=y$.
2. Die trigonometrischen Funktionen

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

   und

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

   erfüllen für ${}x\in \mathbb {R}$ die Kreisgleichung

   ${}(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,.$

3. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion, für die ${}F$ eine Stammfunktion sei. Dann gilt für ${}a<b$ aus ${}I$ die Gleichheit

   ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$

Zur gelösten Aufgabe