Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

1. Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

   und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
      3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

   $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$

   gibt.

3. Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

   ${}\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$

   definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

4. Eine Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   heißt eine obere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

5. Eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$ ist ein Schema der Form

   ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

   wobei die ${}a_{ij}$ aus ${}K$ sind.

6. Man nennt

   $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$

   die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

Zur gelösten Aufgabe