Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$ mit dem Grenzwert ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

2. Es sei

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

   eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle

   ${}n\geq m\geq n_{0}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.
3. Die Sinusfunktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

   ist differenzierbar mit

   ${}\sin \!'(x)=\cos x\,$

   und die Kosinusfunktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

   ist differenzierbar mit

   ${}\cos \!'(x)=-\sin x\,.$

Zur gelösten Aufgabe