Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

1. Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert.
2. Für die trigonometrischen Funktionen

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

   und

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

   gelten die Additionstheoreme

   ${}\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$

   und

   ${}\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.$

3. Es sei

   ${}g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$

   eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall ${}]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion ${}f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

   ${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,$

   auf ${}]-r,r[$ konvergent. Die Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit

   ${}f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.$

Zur gelösten Aufgabe