Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$ .
Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
1. Die Funktion ${}f$ ist genau dann wachsend (bzw. fallend), wenn ${}f'(x)\geq 0$ (bzw. ${}f'(x)\leq 0$ ) für alle ${}x\in I$ ist.
2. Wenn ${}f'(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng wachsend.
3. Wenn ${}f'(x)\leq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng fallend.
Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${}K$ in Dreiecksgestalt
${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}$
gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich ${}0$ seien. Dann stehen die Lösungen ${}(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln ${}(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$ .