Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe/Lösung

Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
1. Die Funktion ${}f$ ist genau dann wachsend (bzw. fallend), wenn ${}f'(x)\geq 0$ (bzw. ${}f'(x)\leq 0$ ) für alle ${}x\in I$ ist.
2. Wenn ${}f'(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng wachsend.
3. Wenn ${}f'(x)\leq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng fallend.
Es sei ${}K$ ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ ${}M$ eine ${}n\times n$ ${}n\times n$ -Matrix über ${}K$ ${}K$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
1. ${}\det M\neq 0$ .
2. Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.
3. ${}M$ ist invertierbar.
4. ${}\operatorname {rang} \,M=n$ .