Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/39/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}\mathbb {R}$. Dann ist die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

2. Es sei ${}b>a$ und seien

   $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit

   ${}g'(x)\neq 0\,$

   für alle ${}x\in {]a,b[}$. Dann ist ${}g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

   ${}{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$. Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Zur gelösten Aufgabe