Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit

   $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in [a,b].$

2. Die trigonometrischen Funktionen

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

   und

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

   erfüllen für ${}x\in \mathbb {R}$ die Kreisgleichung

   ${}(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Zu ${}i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$-te Zeile und die ${}j$-te Spalte weglässt. Dann ist (bei ${}n\geq 2$ für jedes feste ${}i$ bzw. ${}j$)

   ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$

Zur gelösten Aufgabe