Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/45/Aufgabe/Lösung

1. Für alle reellen Zahlen ${}x$ mit ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ absolut und es gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$

2. Zu jedem Punkt ${}x\in I$ gibt es ein ${}c\in I$ mit

   $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   sei eine ${}K$-lineare Abbildung. Dann ist ${}\varphi$ injektiv genau dann, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

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