Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/51/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}D\subseteq \mathbb {R}$ und ${}E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   und

   $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$

   Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$. Dann gelten folgende Aussagen.

   1. Wenn ${}f$ in ${}x\in D$ und ${}g$ in ${}f(x)$ stetig sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ in ${}x$ stetig.
   2. Wenn ${}f$ und ${}g$ stetig sind, so ist auch ${}g\circ f$ stetig.
2. Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

   $[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$

   und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

   $[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].$

3. Unter der Bedingung, dass ${}V$ endlichdimensional ist, gilt

   ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$

Zur gelösten Aufgabe