Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/56/Aufgabe/Lösung

1. Für ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
   2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}D$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.
2. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

   ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt

   ${}\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y\,$

   für alle ${}x,y\in \mathbb {R} _{+}$.
3. Es sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$. Dann ist

   ${}G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$

   eine Stammfunktion der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$.

Zur gelösten Aufgabe