Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.
2. Sei ${}a<b$ und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktion mit ${}f(a)=f(b)$. Dann gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

   ${}f'(c)=0\,.$

3. Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

   $[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$

   und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

   $[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].$

Zur gelösten Aufgabe