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Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/60/Aufgabe/Lösung
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Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/60/Aufgabe
Seien
a
≤
b
{\displaystyle {}a\leq b}
reelle Zahlen und sei
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle {}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
eine stetige Funktion mit
f
(
a
)
≤
0
{\displaystyle {}f(a)\leq 0}
und
f
(
b
)
≥
0
{\displaystyle {}f(b)\geq 0}
. Dann gibt es ein
x
∈
R
{\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }
mit
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle {}a\leq x\leq b}
und mit
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle {}f(x)=0}
.
Sei
I
{\displaystyle {}I}
ein reelles Intervall und sei
f
:
I
⟶
R
{\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }
eine stetige Funktion. Dann ist
f
{\displaystyle {}f}
Riemann-integrierbar.
Es seien
f
,
g
:
[
a
,
b
]
⟶
R
{\displaystyle f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
∫
a
b
f
(
t
)
g
′
(
t
)
d
t
=
f
g
|
a
b
−
∫
a
b
f
′
(
t
)
g
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.}
Zur gelösten Aufgabe