Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen konvergiert.
Sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt und seien
$f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien. Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}a$ besitzt, so ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$
Es sei ${}K$ ${}K$ ein Körper und ${}V$ ${}V$ ein ${}K$ ${}K$ -Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ . Für ${}n$ ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ ${}V$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$ .
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$ .
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.