Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Eine Differentialgleichung der Form

   $y'=g(t)y+h(t)$

   mit zwei auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen ${}t\mapsto g(t)$ und ${}t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.

2. Zu einem Vektor ${}v\in V$ nennt man

   ${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

   die Norm von ${}v$.

3. Unter einer Lösung des Anfangswertproblems versteht man eine Abbildung

   $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

   auf einem Intervall ${}J\subseteq I$ mit ${}v'(t)=f(t,v)$ für alle ${}t\in J$ und mit ${}v(t_{0})=w$.

4. Die lineare Abbildung ${}L$ mit der Eigenschaft

   ${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

   (wobei ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in ${}0$ stetige Abbildung mit ${}r(0)=0$ ist) heißt das totale Differential von ${}\varphi$ an der Stelle ${}P$.

5. Die Abbildung

   $\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$

   heißt die Hesse-Form im Punkt ${}P\in V$.

6. Eine Quader-Überpflasterung von ${}T$ ist eine Familie von (achsenparallelen) Quadern ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, mit ${}T\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}$.

Zur gelösten Aufgabe