Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind $u,v,w\in V$).
   1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
   2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
   3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
   4. Es ist

      ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

2. Es sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt

   ${}D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi \,.$

3. Für eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist

   ${}\lambda ^{n}(T)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Zur gelösten Aufgabe