Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

   ${}{\begin{aligned}P&=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\\&=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}}\end{aligned}}$

   mit verschiedenen ${}\lambda _{i}$, so bilden die Funktionen

   $t^{j}e^{\lambda _{i}t},\,i=1,\ldots ,k,\,j=0,\ldots ,\nu _{i}-1,$

   ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.
2. Die zusammengesetzte Abbildung ${}g\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ besteht die Beziehung

   $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}.$

3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

   $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}P\in G$ mit ${}\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.

   1. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Maximum in ${}P$.
   2. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Minimum in ${}P$.
   3. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt ${}f$ in ${}P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

Zur gelösten Aufgabe