Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Unter einer Wahrheitsbelegung versteht man eine Abbildung

   $\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}.$

2. Eine geordnete Menge ${}(I,\preccurlyeq )$ heißt induktiv geordnet, wenn jede total geordnete Teilmenge ${}J\subseteq I$ eine obere Schranke in ${}I$ besitzt.
3. Das Alphabet einer Sprache erster Stufe umfasst die folgenden Daten.
   1. Eine Grundtermmenge, also eine Menge aus Variablen, Konstanten und Funktionssymbolen.
   2. Zu jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge ${}R_{n}$ von ${}n$-stelligen Relationssymbolen.
   3. Die aussagenlogischen Junktoren

      $\neg ,\,\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\,\leftrightarrow .$

   4. Das Gleichheitszeichen ${}=$.
   5. Die Quantoren ${}\forall$ und ${}\exists$.
   6. Klammern, also ${}($ und ${})$.
4. Man sagt, dass ${}\Gamma$ Beispiele enthält, wenn es für jeden Ausdruck der Form ${}\exists x\alpha$ aus ${}L^{S}$ einen ${}S$-Term ${}t$ derart gibt, dass

   $\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {t}{x}}$

   zu ${}\Gamma$ gehört.

5. Die Addition ${}n+k$ wird über die Addition ${}\alpha _{n}$ mit festem ${}n$ definiert, wobei ${}\alpha _{n}$ die eindeutig bestimmte Abbildung

   $\alpha _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \alpha _{n}(k),$

   ist, für die

   $\alpha _{n}(0)=n{\text{ und }}\alpha _{n}(k')=(\alpha _{n}(k))'{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$

   gilt.

6. Es sei ${}\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und ${}\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Man sagt, dass ${}\alpha$ aus ${}\Gamma$ folgt, wenn für jedes modallogische Modell ${}(M,R,\mu )$ mit

   $(M,R,\mu )\vDash \Gamma$

   auch

   $(M,R,\mu )\vDash \alpha$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe