Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Die Sprache der Aussagenlogik ${}L^{V}$ wird rekursiv durch folgende Regeln definiert.
   1. Jedes ${}p\in V$ gehört zu ${}L^{V}$.
   2. Wenn ${}\alpha \in L^{V}$, so ist auch ${}\neg (\alpha )\in L^{V}$.
   3. Wenn ${}\alpha ,\beta \in L^{V}$, so sind auch ${}(\alpha )\wedge (\beta ),\,(\alpha )\vee (\beta ),\,(\alpha )\rightarrow (\beta ),\,(\alpha )\leftrightarrow (\beta )\in L^{V}$.
2. Das Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.
3. Unter der Uminterpretation ${}I{\frac {m}{x}}$ versteht man diejenige Interpretation von ${}S$ in ${}M$, die strukturgleich zu ${}I$ ist und für deren Variablenbelegung

   $\left(I{\frac {m}{x}}\right)(y)={\begin{cases}I(y),\,{\text{ falls }}y\neq x\,,\\m,\,{\text{ falls }}y=x\,,\end{cases}}$

   gilt.

4. Man nennt eine weitere ${}S$-Struktur ${}M'$, die zu ${}M$ elementar äquivalent, aber nicht zu ${}M$ ${}S$-isomorph ist, ein Nichtstandardmodell von ${}M$.
5. Die Relation ${}R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es einen ${}L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck ${}\psi$ in ${}r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle ${}r$-Tupel ${}(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Äquivalenz ${}(n_{1},\ldots ,n_{r})\in R$ genau dann, wenn ${}\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$ gilt.
6. Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck ${}\alpha$ in einem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ gilt, wenn

   $w\vDash \alpha$

   für alle ${}w\in M$ gilt.

Zur gelösten Aufgabe