Matrix/22/C/Orthonormalbasis aus Eigenvektoren/1/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}2-3i&4+5i\\11-3i&6+9i\end{pmatrix}}\,.$

Die adjungierte Abbildung wird durch

${}N={{\overline {M}}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}2+3i&11+3i\\4-5i&6-9i\end{pmatrix}}\,$

beschrieben. Wegen

${}(2-3i)(2+3i)+(4+5i)(4-5i)=(2-3i)(2+3i)+41\,$

und

${}(2-3i)(2+3i)+(11+3i)(11-3i)=(2-3i)(2+3i)+130\,$

ist

${}M\circ N\neq N\circ M\,.$

Der Endomorphismus ist also nicht normal und daher gibt es nach Fakt

keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.

Zur gelösten Aufgabe