Matrix/5 7 1 0 5 4 0 0 5/Jordan/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}M={\begin{pmatrix}5&7&1\\0&5&4\\0&0&5\end{pmatrix}}-5{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&7&1\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0&7&1\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&7&1\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&28\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Der Vektor ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gehört nicht zum Kern von ${}M^{2}$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

${}M{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&7&1\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}}\,$

und

${}M^{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}28\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist

${\begin{pmatrix}28\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

${\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&1\\0&0&5\end{pmatrix}}$

vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe