Es sei
. Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
-
Die Koeffizienten des Produktes
sind
-
![{\displaystyle {}c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b998014ad429fdac486575d9ae452ce8a752252f)
Bei
![{\displaystyle {}j=i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4485b58cb90348dfe21b35c8d64f346b5086c011)
ist dies
![{\displaystyle {}\det M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfe29229d8d9bdafa24d462f08149a1fa614943)
, da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der
![{\displaystyle {}j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897926113a1886e7b44c1afbb01dc1854a23635e)
-ten Spalte handelt. Es sei
![{\displaystyle {}j\neq i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b34e2e9bb20bf6a45f481279785dbfac78df8c0)
und es sei
![{\displaystyle {}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099febf9b45b3f4e016236fc6430ace08427d4e2)
die Matrix, die aus
![{\displaystyle {}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721df7cbe87df695d471a9ee60ad739e3614e51c)
entsteht, wenn man in
![{\displaystyle {}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721df7cbe87df695d471a9ee60ad739e3614e51c)
die
![{\displaystyle {}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86ca8314ccd44b422417feee40565d59cf53c39)
-te Spalte durch die
![{\displaystyle {}j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897926113a1886e7b44c1afbb01dc1854a23635e)
-te Spalte ersetzt. Wenn man
![{\displaystyle {}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099febf9b45b3f4e016236fc6430ace08427d4e2)
nach der
![{\displaystyle {}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86ca8314ccd44b422417feee40565d59cf53c39)
-ten Spalte entwickelt, so ist dies
-
![{\displaystyle {}0=\det N=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}=c_{ij}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1342270c9001ff48a091a32f8405085b5c9e166)
Also sind diese Koeffizienten
, und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.